عرض بوربوينت لدرس مبرهنة المنصف الداخلي لزاوية في مثلث والمبرهنة العكس لها مع تطبيقات عليهما, يمكن عرض الدرس ضمن الحصة الدرسية ويمكن ايضاً الاستفادة منه في التعلم الذاتي.

      عرض بوربوينت لدرس مبرهنة المنصف الداخلي لزاوية في مثلث والمبرهنة العكس لها مع تطبيقات عليهما, يمكن عرض الدرس ضمن الحصة الدرسية ويمكن ايضاً الاستفادة منه في التعلم الذاتي.

   
      تأليف: أمل سلمان

AD منصف للزاوية A
في الهندسة الرياضية، مبرهنة أو نظرية منصف زاوية هي مبرهنة في المثلث تعطي العلاقة بين طول الضلع المقابل لأي زاوية إلى طول الضلعين الباقيين. وتنص على أنه في المثلث ABC، إذا كان AD منصف للزاوية A وكانت D نقطة تقاطع AD مع BC فإن

البراهين
البرهان الأول

المثلث ABC
باستخدام قوانين مساحة المثلث:

1- مساحة المثلث ADC

{displaystyle {frac {1}{2}}AE.DC={frac {1}{2}}AD.ACsin alpha =} {displaystyle {frac {1}{2}}AE.DC={frac {1}{2}}AD.ACsin alpha =}

2- مساحة المثلث ADB

{displaystyle {frac {1}{2}}AE.BD={frac {1}{2}}AD.BAsin beta =} {displaystyle {frac {1}{2}}AE.BD={frac {1}{2}}AD.BAsin beta =}

بقسمة 2 على 1 نصل إلى:

{displaystyle {frac {BD}{DC}}={frac {BAsin beta }{ACsin alpha }}} {displaystyle {frac {BD}{DC}}={frac {BAsin beta }{ACsin alpha }}} و إذا كان AD منصف الزاوية A ستحقق المبرهنة و ذلك لأن {displaystyle beta =alpha } {displaystyle beta =alpha }.

البرهان الثاني

AD منصف للزاوية A
باستخدام قانون الجيوب:

في المثلث ADC:

{displaystyle {frac {AC}{sin {ADC}}}={frac {DC}{sin alpha }}} {displaystyle {frac {AC}{sin {ADC}}}={frac {DC}{sin alpha }}} {displaystyle sin {ADC}={frac {ACsin alpha }{DC}}} {displaystyle sin {ADC}={frac {ACsin alpha }{DC}}}

في المثلث ADB:

{displaystyle {frac {BA}{sin {ADB}}}={frac {DB}{sin beta }}} {displaystyle {frac {BA}{sin {ADB}}}={frac {DB}{sin beta }}} {displaystyle sin {ADB}={frac {BAsin beta }{DB}}} {displaystyle sin {ADB}={frac {BAsin beta }{DB}}} {displaystyle angle {ADC}=180-angle {ADB}because } {displaystyle angle {ADC}=180-angle {ADB}because } و (Sin x = Sin (180-x. {displaystyle sin {ADB}=sin {ADC}Leftarrow } {displaystyle sin {ADB}=sin {ADC}Leftarrow } {displaystyle {frac {BAsin beta }{DB}}={frac {ACsin alpha }{DC}}Leftarrow } {displaystyle {frac {BAsin beta }{DB}}={frac {ACsin alpha }{DC}}Leftarrow } {displaystyle {frac {BD}{DC}}={frac {BAsin beta }{ACsin alpha }}Leftarrow } {displaystyle {frac {BD}{DC}}={frac {BAsin beta }{ACsin alpha }}Leftarrow } و إذا كانت {displaystyle beta =alpha } {displaystyle beta =alpha } سنصل إلى مبرهنة منصف الزاوية.

البرهان الثالث

المثلث ABC
برهان هندسي، باستخدام تشابه المثلثات:

ِAD منصف الزاوية A، نسقط عمود من B على AD يقطعه في F، ونسقط عمود من C على امتداد AD يقطعه في E.

المثلث AEC يشابه المثلث AFB

( لأن E و F قائمتان و {displaystyle beta =alpha } {displaystyle beta =alpha } لأن AD منصف A)

{displaystyle Rightarrow {frac {FB}{EC}}={frac {BA}{AC}}} {displaystyle Rightarrow {frac {FB}{EC}}={frac {BA}{AC}}}

المثلث DEC يشابه المثلث DFB

( لأن E و F قائمتان و {displaystyle angle {EDC}=angle {FDB}} {displaystyle angle {EDC}=angle {FDB}} للتقابل بالرأس)

{displaystyle Rightarrow {frac {FB}{EC}}={frac {BD}{DC}}} {displaystyle Rightarrow {frac {FB}{EC}}={frac {BD}{DC}}} {displaystyle Rightarrow {frac {BA}{AC}}={frac {BD}{DC}}} {displaystyle Rightarrow {frac {BA}{AC}}={frac {BD}{DC}}}

وهو المطلوب إثباته .

 مبرهنة المنصف الداخلي عكسها
نظرية منصف الزاوية

منصف الزاوية في المثلث

نظرية المنصف الخارجي

المنصف الخارجي لزاوية

نظرية منصف زاوية في مثلث

منصف الزاوية تمارين

تعريف منصف الزاوية